慶應義塾高等学校対策 数学模擬試験 第081回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
条件の読み取り、関数の最値、円・折り返し、立体と確率の演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=246を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が15129以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−122,14884)、B(2,4)があります。P(t,t²)は−122≦t≦2を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(244,0)、C(244,4)、D(0,4)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(4,0)、C(2,122)、D(0,122)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉122個、白玉2個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=246−xよりxy=x(246−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+246x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{246^2-(2x-246)^2}{4}\)。整数xでは2x−246の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{15129,\ (x,y)=(123,123)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=246^2-(x-y)^2\)。2乗は0以上です。よってxy≦15129。差が0で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 15129}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(4−14884)/(124)=-120。Aを代入すると切片は244です。
答え：\(\boxed{y=(-120)x+244}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-120)t+244−t²=(t+122)(2−t)。面積は左右に分けてPQ×(124)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{124}2(t+122)(2-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+122)(2−t)=\(\frac{15376}4-(t+60)^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=238328,\ t=-60}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(244−x)²+16。整理して2×244x=59552です。横の長さが縦より大きいので0<x<244を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{7444}{61}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+16=(244−x)²。よってx=(59536−16)/(2×244)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{7440}{61}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は244、高さは4なので面積は244×4/2です。
答え：\(\boxed{488}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が4から2へ、高さ122で半減するので、さらに122進むと0になります。交点は(0,244)です。
答え：\(\boxed{244}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径4・高さ244の円すいから、半径2・高さ122の円すいを除きます。π((4)²×244−4×122)/3です。
答え：\(\boxed{\frac{3416}{3}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(14884+4)。円すいの側面積の差はπ(4×2BC−2×BC)=6πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{6\pi\sqrt{14888}+20\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は124×123/2=7626組。異色の組は122×2=244組です。
答え：\(\boxed{\frac{122}{3813}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は122×121/2組、白2個は2×1/2組なので合計7382組です。
答え：\(\boxed{\frac{3691}{3813}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた7625組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の7381組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{121}{125}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。