慶應義塾高等学校対策 数学模擬試験 第075回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
条件の読み取り、関数の最値、円・折り返し、立体と確率の演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 共役な平方根・対称式（20点）
A=\(\sqrt{126}+\sqrt{120}\)、B=\(\sqrt{126}-\sqrt{120}\)とします。
（1）ABを求めなさい。（4点）
（2）A²+B²を求めなさい。（6点）
（3）A⁴+B⁴を求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−120,14400)、B(6,36)があります。P(t,t²)は−120≦t≦6を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(240,0)、C(240,12)、D(0,12)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径6cm、高さ120cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<120とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(40\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(80\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から126までの整数を1個ずつ書いた126枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが6の倍数でも7の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが6の倍数または7の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが6の倍数または7の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
平方の差からAB=(126)−120です。
答え：\(\boxed{6}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(A+B)²−2ABを使います。A+B=2√126なので、4×126−2×6です。
答え：\(\boxed{492}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(A²+B²)²−2(AB)²に帰着します。\(492^2-2\times6^2\)。
答え：\(\boxed{241992}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(36−14400)/(126)=-114。Aを代入すると切片は720です。
答え：\(\boxed{y=(-114)x+720}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-114)t+720−t²=(t+120)(6−t)。面積は左右に分けてPQ×(126)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{126}2(t+120)(6-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+120)(6−t)=\(\frac{15876}4-(t+57)^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=250047,\ t=-57}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(240−x)²+144。整理して2×240x=57744です。横の長さが縦より大きいので0<x<240を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{1203}{10}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+144=(240−x)²。よってx=(57600−144)/(2×240)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{1197}{10}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は240、高さは12なので面積は240×12/2です。
答え：\(\boxed{1440}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/6=(120−h)/120です。
答え：\(\boxed{r=6\left(1-\frac{h}{120}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=4、h=40をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{640\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは2となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は42の倍数で、3個です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{42}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
6の倍数21個と7の倍数18個を足し、二重に数えた公倍数3個を1回引くと36個です。
答え：\(\boxed{\frac{2}{7}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は36個。このうち重なりの3個を除いた33個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{11}{12}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。