慶應義塾高等学校対策 数学模擬試験 第069回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
条件の読み取り、関数の最値、円・折り返し、立体と確率の演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-119|+|x-124|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<119、119≦x≦124、x>124に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=5のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=238cm、BC=10cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=595となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は595cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=5:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺10cmの立方体を0≦x,y,z≦10と表します。平面x+y+z=15で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が119倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が119倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から124までの整数を1個ずつ書いた124枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが5の倍数でも6の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが5の倍数または6の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが5の倍数または6の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に243−2x、5、2x−243です。
答え：\(\boxed{243-2x,\ 5,\ 2x-243}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に5。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{119\leq x\leq124}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<5は解なし。k=5は中央全体。k>5は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<5:\text{解なし};\ k=5:119\leq x\leq124;\ k>5:x=\frac{243-k}{2},\frac{243+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=10よりS=5t。BC上では底辺AD=10、高さがAB=238で一定なのでS=1190です。
答え：\(\boxed{S=5t\ (0\leq t\leq238),\ S=1190\ (238\leq t\leq248)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の5t=595よりt=119。BC上の値は595より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{119}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって238秒から248秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{1190,\ 238\leq t\leq248}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:5です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(6)、△CEX=5u/(6)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:5なので[BCX]=5u、[BDX]=5u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(5u/2)=2:5です。
答え：\(\boxed{2:5}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は595/2。ADを2:5に分けるので[ABX]=(595/2)×2/(7)です。
答え：\(\boxed{85}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{425}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を10とすると残りは5。(10,5,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(10,5,0),(10,0,5),(5,10,0),(0,10,5),(5,0,10),(0,5,10)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(25+25)=5√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{30\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長5√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は325√3。相似比119の面積比は14161です。
答え：\(\boxed{1062075\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は30の倍数で、4個です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{31}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
5の倍数24個と6の倍数20個を足し、二重に数えた公倍数4個を1回引くと40個です。
答え：\(\boxed{\frac{10}{31}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は40個。このうち重なりの4個を除いた36個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{9}{10}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。