慶應義塾高等学校対策 数学模擬試験 第051回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
条件の読み取り、関数の最値、円・折り返し、立体と確率の演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{2}{x}=118\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{4}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{8}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{16}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-114)x+232\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=2:116を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径118cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=116cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 四角すい・切断と相似による体積比（20点）
底面が1辺4cmの正方形で、高さが116cmの正四角すいを、頂点からの距離が高さの半分の位置で底面に平行な平面により切ります。
（1）切断面の1辺の長さを求めなさい。（4点）
（2）下側の台形状の立体の体積を求めなさい。（6点）
（3）下側の立体の側面積（底面と切断面を除く）を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から118までの整数を1個ずつ書いた118枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが2の倍数でも3の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが2の倍数または3の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが2の倍数または3の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+4+4/x²=13924です。
答え：\(\boxed{13920}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+2/x)(x²+4/x²)=x³+8/x³+2(x+2/x)なので、118×13920−2×118です。
答え：\(\boxed{1642324}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+4/x²)²=x⁴+16/x⁴+8より、13920²−8です。
答え：\(\boxed{193766392}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-114)x−232=(x+116)(x−2)なのでx=−116,2です。
答え：\(\boxed{A=(-116,13456),\ B=(2,4)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは116と2です。
答え：\(\boxed{116:2}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の2/118だけ進むので、x=−116+2。直線の式へ代入し、y=(-114)²+232です。
答え：\(\boxed{(-114,13228)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=13924−13456=468。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{468}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{3481}{29}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=13924(13924−13456)/13456。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{118}{116}\sqrt{468}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
頂点を含む三角形の相似から、切断面の辺は底辺の1/2です。
答え：\(\boxed{2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
全体は16×116/3。上側は相似比1/2なので体積比1/8。残りは全体の7/8です。
答え：\(\boxed{\frac{1624}{3}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
元の側面三角形の高さは√(13456+4)。4枚の面積の合計は8√13460。上側の面積は1/4なので残りは3/4です。
答え：\(\boxed{6\sqrt{13460}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は6の倍数で、19個です。
答え：\(\boxed{\frac{19}{118}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
2の倍数59個と3の倍数39個を足し、二重に数えた公倍数19個を1回引くと79個です。
答え：\(\boxed{\frac{79}{118}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は79個。このうち重なりの19個を除いた60個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{60}{79}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。