慶應義塾高等学校対策 数学模擬試験 第032回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
条件の読み取り、関数の最値、円・折り返し、立体と確率の演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{3}{x}=57\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{9}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{27}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{81}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-51)x+162\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=3:54を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=162cm、AC=216cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=3:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 直方体表面の最短経路・展開図比較（20点）
3辺がa=54cm、b=57cm、c=60cmの直方体で、向かい合う頂点をA,Gとします。AからGまで表面上だけを進みます。
（1）2面を展開した3種類の経路の長さの2乗を、a,b,cで表しなさい。（4点）
（2）そのうち最短となる経路の長さを求めなさい。（6点）
（3）なぜその展開図が最短か、a<b<cを使って説明しなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉54個、白玉3個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）3回後の座標が1である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+6+9/x²=3249です。
答え：\(\boxed{3243}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+3/x)(x²+9/x²)=x³+27/x³+3(x+3/x)なので、57×3243−3×57です。
答え：\(\boxed{184680}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+9/x²)²=x⁴+81/x⁴+18より、3243²−18です。
答え：\(\boxed{10517031}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-51)x−162=(x+54)(x−3)なのでx=−54,3です。
答え：\(\boxed{A=(-54,2916),\ B=(3,9)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは54と3です。
答え：\(\boxed{54:3}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の3/57だけ進むので、x=−54+3。直線の式へ代入し、y=(-51)²+162です。
答え：\(\boxed{(-51,2763)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=270。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{648}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=270,\ AH=\frac{648}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{486}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{486}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=\frac{405}{2}。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{111537}{4}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
展開図では長方形の対角線なので、(a+b)²+c²、(a+c)²+b²、(b+c)²+a²です。
答え：\(\boxed{(a+b)^2+c^2,\ (a+c)^2+b^2,\ (b+c)^2+a^2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
最小は(a+b)²+c²=15921。三平方で正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{3\sqrt{1769}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
3式の共通部分はa²+b²+c²。残る部分は2ab,2ac,2bcで、a<b<cならab<ac<bcです。
答え：\\(\boxed{ab<ac<bc}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(54/57)×(3/57)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{36}{361}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−3=4−3よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは3×2/2=3通り。各並びの確率は(54/57)²×(3/57)^1です。
答え：\(\boxed{\frac{972}{6859}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(54/57)³×(3/57)です。
答え：\(\boxed{\frac{11664}{130321}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。