慶應義塾高等学校対策 数学模擬試験 第012回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
条件の読み取り、関数の最値、円・折り返し、立体と確率の演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 共役な平方根・対称式（20点）
A=\(\sqrt{53}+\sqrt{50}\)、B=\(\sqrt{53}-\sqrt{50}\)とします。
（1）ABを求めなさい。（4点）
（2）A²+B²を求めなさい。（6点）
（3）A⁴+B⁴を求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−50,2500)、B(50,2500)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−50<t<50を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{3}{4}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径53cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=50cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺6cmの立方体を0≦x,y,z≦6と表します。平面x+y+z=9で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が50倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が50倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から53までの整数を1個ずつ書いた53枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが3の倍数でも4の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが3の倍数または4の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが3の倍数または4の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
平方の差からAB=(53)−50です。
答え：\(\boxed{3}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(A+B)²−2ABを使います。A+B=2√53なので、4×53−2×3です。
答え：\(\boxed{206}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(A²+B²)²−2(AB)²に帰着します。\(206^2-2\times3^2\)。
答え：\(\boxed{42418}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=100、高さ=2500なので面積は50³です。
答え：\(\boxed{125000}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(2500−t²)/2500=3/4。よってt²=625。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{50}{\sqrt{4}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=625}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=2809−2500=309。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{309}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{2809}{50}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=2809(2809−2500)/2500。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{53}{50}\sqrt{309}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を6とすると残りは3。(6,3,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(6,3,0),(6,0,3),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,6),(0,3,6)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(9+9)=3√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{18\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長3√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は39√3。相似比50の面積比は2500です。
答え：\(\boxed{67500\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は12の倍数で、4個です。
答え：\(\boxed{\frac{4}{53}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
3の倍数17個と4の倍数13個を足し、二重に数えた公倍数4個を1回引くと26個です。
答え：\(\boxed{\frac{26}{53}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は26個。このうち重なりの4個を除いた22個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{11}{13}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。