二重根号 | 教材（レベル5）
要約
レベル5では、二重根号を外す理由を式で説明したり、条件から必要な数を決めたりします。計算だけでなく、根拠を書く力も大切です。
関連ドリル:
1. 基本知識
二重根号を外すには、次の形を見抜きます。
\[
\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}=\sqrt{m}\pm\sqrt{n}
\]
このとき、
\[
m+n=a,\quad mn=b
\]
です。
2. 重要ポイント
m+n=aとmn=bを同時に満たす数を探す- 符号によってプラス型かマイナス型かを決める
- 証明では、右辺を2乗して左辺の中身と一致することを示す
3. 具体例
\[
\sqrt{11-2\sqrt{30}}
\]
では、
\[
11=6+5,\quad 30=6\times5
\]
なので、
\[
\sqrt{11-2\sqrt{30}}=\sqrt{6}-\sqrt{5}
\]
です。
4. よくある間違い
- 和だけを見て積を確認しない
- 根号の中が正かどうかを確認しない
- 証明で2乗後の
2\sqrt{mn}を書き忘れる
5. 覚え方・コツ
二重根号の問題は「和と積のペア探し」です。迷ったら、候補を表にして確認します。
6. 確認問題
次の式を簡単にし、理由を一言で説明しなさい。
（1）
\[
\sqrt{9+2\sqrt{14}}
\]
（2）
\[
\sqrt{13-4\sqrt{10}}
\]
7. 解答・解説
（1）
\[
9=7+2,\quad 14=7\times2
\]
より、
\[
\sqrt{9+2\sqrt{14}}=\sqrt{7}+\sqrt{2}
\]
（2）
\[
13=8+5,\quad 40=8\times5
\]
より、
\[
\sqrt{13-4\sqrt{10}}=2\sqrt{2}-\sqrt{5}
\]
8. まとめ
発展問題では、係数付きの根号も 2\sqrt{b} の形として見直すことが大切です。