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三角形・四角形の角 | 教材（発展）

要約

三角形の3つの角の和は180°、四角形の4つの角の和は360°です。このきまりと、二等辺三角形の性質を使って、図の中の未知の角度を求めます。

関連ドリル:

1. 基本（きほん）

三角形の角の和

三角形の3つの角を合わせると、必ず180°になります。

たとえば、2つの角が \(50^\circ\)、\(60^\circ\) の三角形では、残りの角は次のように求められます。

\[ 180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ \]

四角形の角の和

四角形に1本の対角線を引くと、三角形2つに分けられます。三角形の角の和は180°なので、四角形の角の和は次のようになります。

\[ 180^\circ\times2=360^\circ \]

二等辺三角形の角

二等辺三角形では、等しい辺と向かい合う2つの角の大きさが等しくなります。頂点の角が分かっているときは、残りの2つの角を同じ大きさとして考えます。

三角形 3つの角の和 = 180° 四角形 4つの角の和 = 360°

2. 大切なポイント

3. 例（れい）

例1　三角形の残りの角

三角形の2つの角が \(52^\circ\)、\(68^\circ\) のとき、残りの角を求めます。

\[ \begin{aligned} 180^\circ-(52^\circ+68^\circ)&=180^\circ-120^\circ\\ &=60^\circ \end{aligned} \]

答えは \(60^\circ\) です。

例2　二等辺三角形

二等辺三角形の頂点の角が \(40^\circ\) のとき、底角を1つ求めます。底角は2つとも同じ大きさです。

\[ \begin{aligned} (180^\circ-40^\circ)\div2&=140^\circ\div2\\ &=70^\circ \end{aligned} \]

底角は、それぞれ \(70^\circ\) です。

例3　四角形の残りの角

四角形の3つの角が \(85^\circ\)、\(110^\circ\)、\(95^\circ\) のとき、残りの角を求めます。

\[ 360^\circ-(85^\circ+110^\circ+95^\circ)=360^\circ-290^\circ=70^\circ \]

答えは \(70^\circ\) です。

4. 角を順に求める問題

図形の中に補助線があるときは、三角形を1つずつ見つけます。1つの角を求めてから、その角を使って次の角を求めることがあります。

たとえば、四角形を対角線で2つの三角形に分け、一方の三角形の角が \(35^\circ\)、\(85^\circ\)、\(x^\circ\) なら、

\[ x=180^\circ-35^\circ-85^\circ=60^\circ \]

と分かります。求めた \(60^\circ\) をもう一方の三角形の角として使えば、四角形の残りの角も求められます。

このような問題では、いきなり四角形全体を計算するのではなく、次の順に整理します。

  1. 三角形や四角形のどの角の和を使うか決める。
  2. 分かっている角を書き出す。
  3. 求めた角を図に戻して、次の計算に使う。

5. よくあるまちがい

6. 確認問題（かくにんもんだい）

次の問題を解きなさい。

（1）三角形の2つの角が \(47^\circ\)、\(63^\circ\) です。残りの角は何度ですか。

（2）二等辺三角形の頂点の角が \(36^\circ\) です。底角は1つ何度ですか。

（3）四角形の3つの角が \(88^\circ\)、\(102^\circ\)、\(75^\circ\) です。残りの角は何度ですか。

（4）四角形を対角線で2つの三角形に分けました。一方の三角形の2つの角は \(35^\circ\)、\(85^\circ\) です。この三角形の残りの角を求めなさい。さらに、もう一方の三角形の2つの角が \(40^\circ\)、\(60^\circ\) のとき、その三角形の残りの角を求めなさい。

（5）ある三角形の3つの角のうち、1つは \(40^\circ\)、残りの2つは同じ大きさです。残りの2つの角は、それぞれ何度ですか。

7. 解答・解説

（1）

三角形の角の和は \(180^\circ\) です。

\[ 180^\circ-47^\circ-63^\circ=70^\circ \]

答えは \(\boxed{70^\circ}\) です。

（2）

底角は2つとも同じ大きさなので、残りの角の和を2で割ります。

\[ (180^\circ-36^\circ)\div2=144^\circ\div2=72^\circ \]

答えは \(\boxed{72^\circ}\) です。

（3）

四角形の角の和は \(360^\circ\) です。

\[ 360^\circ-88^\circ-102^\circ-75^\circ=95^\circ \]

答えは \(\boxed{95^\circ}\) です。

（4）

1つ目の三角形は、

\[ 180^\circ-35^\circ-85^\circ=60^\circ \]

です。2つ目の三角形は、

\[ 180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ \]

です。答えは、1つ目が \(\boxed{60^\circ}\)、2つ目が \(\boxed{80^\circ}\) です。

（5）

同じ大きさの2つの角を \(x^\circ\) とすると、三角形の角の和から、

\[ 40^\circ+x^\circ+x^\circ=180^\circ \]

となります。したがって、

\[ 2x=140^\circ\\ x=70^\circ \]

残りの2つの角は、それぞれ \(\boxed{70^\circ}\) です。

8. まとめ

三角形の角の和は \(180^\circ\)、四角形の角の和は \(360^\circ\) です。分からない角を求めるときは、分かっている角を足してから、全体の角の和から引きます。二等辺三角形では、等しい辺と向かい合う2つの角が等しいことも使いましょう。