数式の形を見抜く恒等式の証明 | ドリル
問題
\(a,b\) は実数で、\(a+b>0\)、\(\lvert a-b\rvert=1\) を満たすとする。次の値を \(a,b\) を用いて表しなさい。
\[
\sqrt{2(a^2+b^2)-1}
\]
解答
恒等式
\[
2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2
\]
を使う。条件 \(\lvert a-b\rvert=1\) より \((a-b)^2=1\) だから、
\[
2(a^2+b^2)-1=(a+b)^2
\]
となる。さらに \(a+b>0\) なので、
\[
\sqrt{2(a^2+b^2)-1} =\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|=\boxed{a+b}
\]
である。