距離として見る最小値 | ドリル
問題
\(P=(x,0)\)、\(A=(0,1)\)、\(B=(4,2)\) とする。次の問いに答えなさい。
- \(AP\)、\(PB\) を平方根を使って表しなさい。
- \(A\) を \(x\) 軸に関して反転した点を \(A'\) とするとき、\(A'B\) の長さを求めなさい。
- \(P\) を動かしたときの \(AP+PB\) の最小値を求めなさい。
解答
- 距離の公式より、
\[ AP=\sqrt{x^2+1},\qquad PB=\sqrt{(4-x)^2+4} \] - \(A'=(0,-1)\) であるから、
\[ A'B=\sqrt{(4-0)^2+\{2-(-1)\}^2} =\sqrt{16+9}=5 \] - \(P\) は \(x\) 軸上にあるので \(AP=A'P\)。三角不等式より、
\[ AP+PB=A'P+PB\ge A'B=5 \]
したがって、最小値は
\[ \boxed{5} \]
である。