因数分解と三乗根を利用する指数計算
練習問題
次の条件を満たす \(y\) について、
\[
y^6+y^7+y^8=0
\]
このとき、
\[
y^{12}
\]
の値を求めよ。
テスト観点
- 共通因数 (y^6) を正しく取り出せるか
- 方程式を場合分けできるか * \[ (y^2+y+1)(y-1)=y^3-1 \]を利用できるか
- 指数法則 \[ (y^3)^4=y^{12} \]を使えるか
- 解の条件 (y\neq1) を理解しているか
知識ポイント
\[
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
\]
特に
\[
y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)
\]
は頻出。
また、
\[
y^3=1
\]
を満たす数は三乗根と呼ばれる。
(y=1) 以外の解では
\[
y^2+y+1=0
\]
が成り立つ。
解答
与式
\[
y^6+y^7+y^8=0
\]
を整理すると、
\[
y^6(1+y+y^2)=0
\]
となる。
したがって、
\[
y^6=0
\]
または
\[
1+y+y^2=0
\]
である。
場合1
\[
y^6=0
\]
より、
\[
y=0
\]
したがって、
\[
y^{12}=0
\]
場合2
\[
1+y+y^2=0
\]
つまり、
\[
y^2+y+1=0
\]
ここで、
\[
(y^2+y+1)(y-1)=y^3-1
\]
より、
\[
y^3=1
\]
ただし (y\neq1)。
よって、
\[
y^{12}=(y^3)^4=1^4=1
\]
以上より、
\[
\boxed{y^{12}=0 \text{ または } 1}
\]
類題練習
- ① \[ x^4+x^5+x^6=0 \]のとき、\[ x^{12} \]を求めよ。
- ② \[ a^3+a^4+a^5=0 \]のとき、\[ a^9 \]を求めよ。
- ③ \[ t^2+t^3+t^4=0 \]のとき、\[ t^6 \]を求めよ。
- ④ \[ z^5+z^6+z^7=0 \]のとき、\[ z^{15} \]を求めよ。
- ⑤ \[ p^3(1+p+p^2)=0 \]のとき、\[ p^{18} \]を求めよ。
類題の答えまとめ
①
\[
\boxed{0 \text{ または } 1}
\]
②
\[
\boxed{0 \text{ または } 1}
\]
③
\[
\boxed{0 \text{ または } 1}
\]
④
\[
\boxed{0 \text{ または } 1}
\]
⑤
\[
\boxed{0 \text{ または } 1}
\]