円上の線形式の最大値 | ドリル
問題
\(r>0\)、\(a,b\) は同時には \(0\) でない実数とする。
\[
x^2+y^2=r^2
\]
のとき、\(ax+by\) の最大値と、そのときの \((x,y)\) を \(a,b,r\) を用いて表しなさい。
解答
コーシー・シュワルツ不等式より、
\[
(ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(a^2+b^2)r^2
\]
である。したがって、
\[
ax+by\le r\sqrt{a^2+b^2}
\]
となる。
等号成立時には、\((x,y)\) が \((a,b)\) と同じ向きに平行である。よって、
\[
(x,y)=\frac{r}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)
\]
とすれば条件を満たし、
\[
ax+by =\frac{r(a^2+b^2)}{\sqrt{a^2+b^2}} =r\sqrt{a^2+b^2}
\]
となる。したがって、
\[
\boxed{\text{最大値 }r\sqrt{a^2+b^2}\quad \left((x,y)=\frac{r}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)\right)}
\]