円とコーシー・シュワルツ不等式による最大値 | ドリル
問題
\\(x^2+y^2=25\\) のとき、\(6x+8y\) の最大値と、そのときの \(x,y\) を求めなさい。
解答
\[
(6x+8y)^2\le(6^2+8^2)(x^2+y^2)=100\cdot25=2500
\]
したがって、
\[
-50\le6x+8y\le50
\]
である。最大値は \(50\) 以下である。
等号成立時は \((x,y)=k(6,8)\)。条件から、
\[
100k^2=25\quad\Longrightarrow\quad k=\pm\frac12
\]
最大値をとるのは \(k=\frac12\) だから、\((x,y)=(3,4)\)。実際、
\[
6\cdot3+8\cdot4=50
\]
よって、
\[
\boxed{\text{最大値 }50\quad(x=3,\ y=4)}
\]