円と内積の最大値 | ドリル
問題
\\(x^2+y^2=16\\) のとき、\(3x+4y\) の最大値と、そのときの \(x,y\) を求めなさい。
解答
\[
(3x+4y)^2\le(3^2+4^2)(x^2+y^2)=25\cdot16=400
\]
より、\(3x+4y\le20\)。等号成立時は \((x,y)=k(3,4)\) と書ける。
条件から、
\[
25k^2=16\quad\Longrightarrow\quad k=\pm\frac45
\]
である。最大値をとるのは \(k=\frac45\) のときだから、
\[
x=\frac{12}{5},\qquad y=\frac{16}{5}
\]
となる。このとき \(3x+4y=20\)。したがって、
\[
\boxed{\text{最大値 }20\quad\left(x=\frac{12}{5},\ y=\frac{16}{5}\right)}
\]