円と内積の最大値 | ドリル
問題
\\(x^2+y^2=25\\) のとき、\(3x+4y\) の最大値と、そのときの \(x,y\) を求めなさい。
解答
コーシー・シュワルツ不等式より、
\[
(3x+4y)^2\le(3^2+4^2)(x^2+y^2)=25\cdot25=625
\]
だから \(3x+4y\le25\)。等号は \((x,y)\) が \((3,4)\) と同じ向きのときに成立する。
実際、\(3^2+4^2=25\) なので、
\[
3x+4y=3\cdot3+4\cdot4=25
\]
である。よって、
\[
\boxed{\text{最大値 }25\quad(x=3,\ y=4)}
\]