指数方程式 | \(17^x-16^x=33\)
問題
\(x\) は実数とする。次の方程式を解きなさい。
\[
17^x-16^x=33
\]
解答
関数
\[
f(x)=17^x-16^x
\]
を考える。
まず、\(x\leq 0\) のときは \(f(x)\leq 0\) である。したがって、\(f(x)=33\) となるには \(x>0\) でなければならない。
\(x>0\) では、
\[
f'(x)=17^x\log 17-16^x\log 16>0
\]
これは、\(17^x>16^x\) かつ \(\log 17>\log 16>0\) だからである。したがって、\(f(x)\) は単調に増加する。
ここで \(x=2\) を代入すると、
\[
f(2)=17^2-16^2=(17-16)(17+16)=33
\]
となる。単調増加なので、この解以外には解はない。
\[
\boxed{x=2}
\]