条件式を利用した分数式の簡略化
練習問題
已知
\[
xy=1
\]
求：
\[
\frac{999}{x^2+1}+\frac{999}{y^2+1}
\]
テスト観点
- 条件式 \(xy=1\) から \[ y=\frac1x \]と変形できるか
- 分数式の整理が正しくできるか
- 共通分母を用いて式をまとめられるか
- 式全体から共通因数をくくり出す発想があるか
- 計算を簡潔に処理できるか
知識ポイント
1. 条件式の利用
\[
xy=1
\]
のとき、
\[
y=\frac1x \quad (\text{または }x=\frac1y)
\]
と変形できる。
2. 分数式の基本変形
\[
\frac1{\frac1{x^2}+1}
\]
は分母を整理して
\[
\frac{x^2}{x^2+1}
\]
となる。
3. 同分母の加法
\[
\frac1{x^2+1}+\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{1+x^2}{x^2+1} = 1
\]
解答
まず 999 をくくる：
\[
=999\left( \frac1{x^2+1} + \frac1{y^2+1} \right)
\]
条件
\[
xy=1
\]
より
\[
y=\frac1x
\]
したがって
\[
\frac1{y^2+1} = \frac1{\frac1{x^2}+1} = \frac{x^2}{x^2+1}
\]
よって
\[
\frac1{x^2+1} + \frac{x^2}{x^2+1} = 1
\]
したがって
\[
\frac{999}{x^2+1}+\frac{999}{y^2+1}=999
\]
答え：
\[
\boxed{999}
\]
類題
問題１
已知
\[
ab=1
\]
求：
\[
\frac{50}{a^2+1}+\frac{50}{b^2+1}
\]
問題２
已知
\[
mn=1
\]
求：
\[
\frac{120}{m^2+1}+\frac{120}{n^2+1}
\]
問題３
已知
\[
pq=1
\]
求：
\[
\frac{7}{p^2+1}+\frac{7}{q^2+1}
\]
問題４
已知
\[
st=1
\]
求：
\[
\frac{300}{s^2+1}+\frac{300}{t^2+1}
\]
問題５
已知
\[
uv=1
\]
求：
\[
\frac{18}{u^2+1}+\frac{18}{v^2+1}
\]
問題６
已知
\[
rs=1
\]
求：
\[
\frac{2024}{r^2+1}+\frac{2024}{s^2+1}
\]
類題の答えまとめ
問題１
\[
\boxed{50}
\]
問題２
\[
\boxed{120}
\]
問題３
\[
\boxed{7}
\]
問題４
\[
\boxed{300}
\]
問題５
\[
\boxed{18}
\]
問題６
\[
\boxed{2024}
\]