素因数分解 | ドリル（発展）

要点

素因数分解、最大公約数、最小公倍数、約数の個数を組み合わせ、条件を一つずつ確認する。

例

24、36、60の最大公約数と最小公倍数を求めます。

24=2^3\times3,\;36=2^2\times3^2,\;60=2^2\times3\times5

最大公約数は2²×3=12、最小公倍数は2³×3²×5=360です。

図で見ると、数を素数だけのかけ算に分けると、数の組み立てが見えます。

注意事項

答えだけでなく、式と考え方も書きましょう。
「出会う」「追いつく」「同じ場所に戻る」などの言葉に注目しましょう。

問題

72と120の最大公約数と最小公倍数を求めましょう。
約数が18個ある最小の数を求めましょう。
1から200までで、12の倍数かつ18の倍数である数はいくつありますか。
2つの数の積が2940、最大公約数が14です。一方が70のとき、もう一方を求めましょう。
素因数が2、3、5だけで、60より大きく100より小さい数をすべて書きましょう。
18、30、45の最小公倍数を素因数分解で求めましょう。

解答・解説

2、3、5のような素数になるまで分け続け、最後に素数の積で表します。

解説の見方

考え方：どの関係や公式を使うかを確認します。
式・計算：数字を式に入れて計算します。
答えの確認：単位や問題の条件に合っているかを見直します。

最大公約数24、最小公倍数360
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　72=2³×3²、120=2³×3×5。共通は24、全部を使うと360です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは最大公約数24、最小公倍数360です。
180
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　180=2²×3²×5で、(2+1)(2+1)(1+1)=18。これより小さい候補には18個の約数がありません。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは180です。
5個
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　最小公倍数36の倍数。36、72、108、144、180の5個です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは5個です。
42
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　2940÷70=42。70と42の最大公約数は14です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは42です。
64、72、75、80、81、90、96
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　2^a×3^b×5^cの形で範囲に入る数を調べます。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは64、72、75、80、81、90、96です。
90
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　18=2×3²、30=2×3×5、45=3²×5より2×3²×5=90です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは90です。