素因数分解 | ドリル（応用）

要点

条件に合う数を素因数の指数で表し、積・約数・倍数の条件をまとめて考える。

例

24の倍数で、36の約数でもある数を考えます。

24=2^3\times3,\quad36=2^2\times3^2

24の倍数は2³を含むため、36の約数にはなれません。

答え：そのような数はない

図で見ると、数を素数だけのかけ算に分けると、数の組み立てが見えます。

注意事項

答えだけでなく、式と考え方も書きましょう。
「出会う」「追いつく」「同じ場所に戻る」などの言葉に注目しましょう。

問題

2つの数の積が180で、一方が12です。もう一方を素因数分解の考え方で求めましょう。
最小公倍数が60、最大公約数が6の2数の一例を答えましょう。
素因数が2と3だけで、約数の個数が12個になる最小の数を求めましょう。
1から100までで、2²×3の倍数はいくつありますか。
2つの数の最大公約数が12で、最小公倍数が180です。一方が36のとき、もう一方を求めましょう。
ある数を素因数分解すると2^a×3^2で、約数が12個あります。aを求めましょう。

解答・解説

2、3、5のような素数になるまで分け続け、最後に素数の積で表します。

解説の見方

考え方：どの関係や公式を使うかを確認します。
式・計算：数字を式に入れて計算します。
答えの確認：単位や問題の条件に合っているかを見直します。

15
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　180÷12=15です。180=2²×3²×5、12=2²×3なので残りは3×5=15です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは15です。
12と30
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　12=2²×3、30=2×3×5。最大公約数6、最小公倍数60です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは12と30です。
72
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　(3+1)(2+1)=12となる最小は2³×3²=72です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは72です。
8個
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　12の倍数は12、24、36、48、60、72、84、96の8個です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは8個です。
60
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　2数の積=12×180=2160。2160÷36=60です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは60です。
3
考え方　数を2、3、5、7のような素数のかけ算に分けます。最後まで分けた素数だけを使います。
式・計算　(a+1)(2+1)=12より、a+1=4、a=3です。
答えの確認　素因数分解は、割り切れる素数で順に割り、残った数も素数になるまで続けます。したがって、答えは3です。