公約数が1だけの整数 | 類題5問（発展）

注意事項

「1以上n以下」にはn自身も含まれます。ただし、nが1より大きいとき、n自身はnと公約数nをもつので数えません。

小学生向けの説明

「公約数が1だけ」とは？

120とある整数の公約数が1だけになるのは、120とその整数に、1より大きい共通の約数がないときです。

120は、

\[ 120=2\times2\times2\times3\times5 \]

と分けられます。調べる整数が 2の倍数、3の倍数、5の倍数 のどれかだと、120と1より大きい公約数をもちます。

そこで、1〜30を「2の倍数セット」「3の倍数セット」「5の倍数セット」に分けて考えます。

まず、3つのセットを作る

「2を含む数」という言い方は、ここでは 2で割り切れる数（2の倍数） という意味です。

• 2の倍数セット：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30 → 15個
• 3の倍数セット：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30 → 10個
• 5の倍数セット：5、10、15、20、25、30 → 6個
  この3つのセットのどれかに入る数は、120と1より大きい公約数をもちます。
  ただし、セットをそのまま足すと、同じ数を2回、3回数えてしまいます。
• 2と3の両方に入る数：6、12、18、24、30 → 5個
• 2と5の両方に入る数：10、20、30 → 3個
• 3と5の両方に入る数：15、30 → 2個
• 2・3・5のすべてに入る数：30 → 1個
  そこで、重なったセットを引きます。30は3回引きすぎるので、最後に1回だけ戻します。
  \[
  15+10+6-5-3-2+1=22
  \]
  つまり、1〜30のうち、2・3・5のどれかで割り切れる数は22個です。残る数は、
  \[
  30-22=8
  \]
  個です。
  残る数は、1、7、11、13、17、19、23、29です。

図で確認する

上のセット分けで数えた「残る8個」を、図でも確認できます。

30は2、3、5のすべての倍数です。そのため、1〜30、31〜60、61〜90のように30個ずつ区切ると、緑色になる場所が同じになります。

たとえば120は30個のまとまりが4つあるので、

\[ 8\times4=32 \]

と数えられます。

200のように2と5だけが関係する数は、10個ずつ区切ります。1〜10では1、3、7、9の4個が残るので、200では (4\times20=80) 個です。

問題

1. 1以上120以下の整数のうち、120との公約数が1だけである整数は何個ありますか。
2. 1以上150以下の整数のうち、150との公約数が1だけである整数は何個ありますか。
3. 1以上180以下の整数のうち、180との公約数が1だけである整数は何個ありますか。
4. 1以上200以下の整数のうち、200との公約数が1だけである整数は何個ありますか。
5. 1以上240以下の整数のうち、240との公約数が1だけである整数は何個ありますか。